Что такое натуральное число

Натуральные числа

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Содержание

Определение

Аксиомы Пеано

Введём функцию S , которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

( 1 является натуральным числом);
Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
(1 не следует ни за каким натуральным числом);
Если S(b) = a и S(c) = a , тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b , так и за числом c , то b = c );
Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n . Тогда:

если P(1) и , то (Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n) , верно и P(n + 1) (индукционное предположение), тоP(n) верно для любых натуральных n ).

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0 . В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел , а множество натуральных чисел с нулем обозначается как .

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как , а без нуля как .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
Возведение в степеньab , где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

Вычитание. Уменьшаемое – Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b + r , причём . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 + a , то есть можно было бы считать частным 0 , а остатком = a .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

[A] [B] = [AB ]

где — дизъюнктное объединение множеств, — прямое произведение, A B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

Коммутативность сложения.
Коммутативность умножения.
Ассоциативность сложения.
Ассоциативность умножения.
Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответсвенно.

Читать еще: Почему у рыб так разнообразна форма тела

Натуральные числа – основы

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703 , 881 , 13 , 333 , 1 023 , 7 , 500 001 . Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Записи вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не являются записями натуральных чисел, т.к. слева располагается цифра 0 .

Верная запись натурального числа, произведенная с учетом всех описанных требований, называется десятичной записью натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Представим некий предмет, например, такой: Ψ . Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: Ψ Ψ . Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет – 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».

Далее, по аналогии: Ψ Ψ Ψ – 3 предмета («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («четыре»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («пять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шесть»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («семь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («восемь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Если запись числа совпадает с записью цифры 0 , то такое число называют «нуль». Нуль – не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) , мы используем один знак – одну цифру.

Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.

Однозначных натуральных чисел девять: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.

Читать еще: Как настроить графику в The Witcher 3

Например, натуральные числа 71 , 64 , 11 – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0 , то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их – 90 .

Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.

Например, 413 , 222 , 818 , 750 – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Одна сотня ( 1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0 , она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Что такое натуральные числа

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы расскажем, что такое НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

С ними человек встречается с самого рождения. Например, когда считает пальцы на руке – 1, 2, 3, 4, 5. Или отмечает праздники – 8 марта, 23 февраля, 9 мая, 31 декабря.

Натуральные числа — это.

Натуральные числа – это те числа, которые возникают при подсчете чего-либо. Например, одно яблоко, два яблока, пять яблок десять яблок и так далее.

Читать еще: Что означает хён на корейском языке

Лучше даже представить, что вы подсчитываете людей, ибо их нельзя поделить на части, как большинство предметов (например, разрезов яблоко пополам).

Само слово «naturalis» в переводе с латинского означает «естественный».

А вот если взять, к примеру, дробные числа (0.5, 13.856, 1/5 и так далее) и уж тем более отрицательные (-1, -5, -100), то в них весьма мало естественности. А значит, можно дать и другое, более простое определение натуральных чисел.

Если число не является ни дробным, ни отрицательным, то его можно назвать натуральным.

Натуральными числами люди пользуются уже много тысячелетий. Просто у разных народов были разные системы исчисления. Например, римляне для счета использовали палочки. Так и появились знаменитые римские цифры – I, V, X, L, C, D и M.

А вот в Древнем Вавилоне использовали шестеричную систему. И до наших дней она дошла в виде часов, в которых 1 час равен 60 минутам, а 1 минута равна 60 секундам.

И наконец, современное обозначение цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее) принадлежит арабам, хотя за основу они взяли индийскую десятеричную систему и добавили к ней «ноль».

Натуральный ряд

Если расположить натуральные числа в порядке возрастания, то полученная цепочка будет называться натуральным рядом.

Он всегда появляется, когда нам нужно что-то посчитать поштучно. Например, в магазине мы обычно так делаем с овощами или фруктами, берем 5 морковок или 3 яблока. А уже только потом взвешиваем их, так как цены указаны за килограмм.

И конечно, именно так учатся считать школьники в первом классе. Например, если в задачке нарисовано пять флажков и вопрос звучит «сколько?», то любой ребенок будет считать «пальцем», отмечая каждый флажок и озвучивая натуральный ряд «один, два, три, четыре, пять».

Ну и тут же будет важным упомянуть, что количество натуральных чисел бесконечно. А значит, и натуральный ряд является бесконечным.

Это записано в основном законе натуральных чисел:

Каким бы большим не было натуральное число N, всегда найдется натуральное число N+1, которое будет больше.

Ноль — это натуральное число или нет

Натуральный ряд можно построить двумя способами:

из чисел, которые обозначают нумерацию предметов (первый, второй, третий, четвертый и так далее);
из чисел, которые обозначают количество предметов (один, два, три, четыре и так далее).

Вы спросите, в чем разница? Во втором случае возможен вариант, когда нужного предмета может и не быть вовсе. И тогда его количество равно нулю.

То есть натуральный ряд начинается не с единицы, а с ноля. И выглядит вот так: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Соответственно, в первом случае ноль нельзя считать натуральным числом. А во втором – можно. Интересно, что споры, какой подход более правильный, у математиков идут до сих пор. И сторонников обеих теорий примерно поровну.

Но у российских школьников проблем с выбором нет. В нашей стране придерживаются той версии, что ноль – это натуральное число.

Операции с натуральными числами

Школьники в младших классах на уроках математики имеют дело только с натуральными числами. Помимо самих цифр учатся и самым простым действиям:

Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма. И если слагаемые натуральные числа, то и сумма будет натуральным числом.
Вычитание. Уменьшаемое – Вычитаемое = Разность. Принцип натуральности чисел точно такой же.
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение. При перемножении натуральных чисел получаем натуральное число.
Деление. Делимое / Делитель = Частное. В данном случае при делении натуральных чисел результат не обязательно должен быть натуральным числом. Возможен и дробный вариант. И еще главное правило – нельзя делить на ноль.