1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Дифракция на квадратном отверстии

Дифракционная картина в дальней зоне как Фурье-образ дифракционного объекта

Когда распространение волны E 0 идет по О z и попадает на экран, совпадающий с плоскостью z = 0 , тогда амплитудный коэффициент пропускания равняется τ ( x , y ) . Случай указывает на поле волны за экраном, которая проходит через преграду E τ .

Используя теорему Фурье, функция E τ ( x , y ) может быть представлена:

Выражение ( 2 ) показывает, что световое поле представлено как суперпозиция плоских волн, амплитуды которых обозначены через F u , v — пространственный спектр.

Реализация Фурье – образа

При дифрагировании световой волны на большие углы излучение обладает высокими пространственными частотами. Если распространение волны идет по оси Z , то ей соответствует нулевая пространственная частота. То есть для решения задачи Фраунгофера следует обозначить пространственный спектр волнового поля за экраном, определенного уравнением ( 1 ) и равного свертке спектров падающей волны E 0 ( x , y ) и коэффициента пропускания экрана. Если E 0 ( x , y ) считается плоской волной, то не существует зависимости ее поля от поперечных координат, угловой спектр совпадает с угловым спектром пропускания экрана.

Образование изображений и преобразование Фурье – это проявление дифракции.

Картина дифракции Фраунгофера – Фурье образ

Дифракция Фраунгофера наблюдается при выполненном условии для дальней зоны в фокальной плоскости оптической системы.

Значение l определяет расстояние от препятствия (отверстия) до экрана, b — ширину щели (диаметр/радиус).

Возьмем для рассмотрения плоскость P , которой принадлежит излучающая поверхность S . Отсюда получим, что плоскостью наблюдения будет являться P ‘ . Расстояние между этими плоскостями равняется z , как показано на рисунке 1 .

Отметим, что не существует комплексного коэффициента усиления для дифракции Фраунгофера, так как условие пространственной инвариантности поля нарушено.

Примеры Фурье – образов

При совершении дифракции Фраунгофера на круглом отверстии волной, форма сигнала будет в виде круга. Допустим, его радиус равняется R . Запись Фурье – образ сигнала запишется:

F ( u , v ) = J 1 ( R ρ ) ρ e i u ∆ x + i u ∆ y ,

где выражение ρ = u 2 + v 2 J 1 ( R ρ ) является функцией Бесселя первого рода и первого порядка, так как она действительная и четная, ∆ x , ∆ y – смещением сигнала по соответствующим осям.

Образ Фурье – считается четным и действительным при условии смещения ∆ x = ∆ y = 0 . Смещением называют фазовую добавку. При ее наличии модуль Фурье – образа не изменен, отсюда и получаем изображение дифракции, который пропорционален квадрату, сохраняется.

Особым практическим интересом обладает задача о дифракции на круглом отверстии, так как оправы и диафрагмы множества приборов в оптике обладают круглой формой. Для решения такого рода задач применяют цилиндрическую систему координат. Для этого следует использовать двойное интегрирование по радиальной и азимутным переменным.

Результат дифракции – акисально-симметричная картина, обладающая ярким световым пятном в центре, называемым диском Эйри. Он включает в себя около 84 % световой энергии.

Была совершена фраунговерова дифракция на квадратном отверстии со стороной
2 a при помощи плоской волны. Форма сигнала – квадрат. Фурье – образ такого сигнала записывается как:

F u , v = sin a u u sin a v v e i u ∆ x + v ∆ y .

Значение ∆ x , ∆ y относят к смещению сигнала по соответствующим осям. Функция sin ( x ) x является действительной и четной, как и Фурье – образ при ∆ x = ∆ y = 0 . Если смещение не равняется нулю, то это влечет за собой появление дополнительных осцилляций без изменения модуля Фурье – образа. Картина дифракции сохраняется и остается прежней.

Дифракция опыта Юнга является дифракцией Фраунгофера плоской волны на двух круглых отверстиях. Тогда запись Фурье – образа такого сигнала примет вид:

F u , v = J 1 R ρ ρ e x p i u ∆ x 1 + i v ∆ y 1 + e x p i u ∆ x 2 + i v ∆ y 2 .

Значение ρ = u 2 + v 2 , J 1 R ρ считается за функцию Бесселя 1 рода и 1 порядка, x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 — за координаты центров кругов. Вид квадрата Фурье – образа – это кольца, соответствующие кругу радиуса R . Они модулируются при помощи полос, находящихся на одинаковом расстоянии. Полосы располагаются перпендикулярно линии, соединяющей центры кругов. Расстояние между полосами обратно пропорционально расстоянию между кругами.

Дифракция Фраунгофера на щели, на прямоугольном и круглом отверстиях

Дифракция Фраунгофера на щели

Дифракция Фраунгофера на длинной, прямоугольной щели — простейший и важный с точки зрения применения на практике случай дифракции. Пусть ширина щели равна $b$, длина ее бесконечна. Плоская монохроматическая волна падает на щель перпендикулярно (рис.1).

Читать еще:  Чем отличается офсетная печать от цифровой

Поле световой волны можно найти за щелью по принципу Гюйгенса как результат интерференции когерентных вторичных волн от разных точек волнового фронта щели. Рассмотрим вторичные волны, которые дает полоса волнового фронта, имеющая ширину $dx$ (эта полоса параллельна щели) (рис.1). Такие волны складываются в цилиндрическую волну Ее ось — выделенная полоса $dx.$ Угол $vartheta$ (рис.1) считают малым, но следует учесть разность фаз волн, которые исходят между разными полосками (имеются в виду фазы колебаний на бесконечном расстоянии от щели). Волна, которая исходит от $dx$ опережает волну этого же направления, распространяющуюся из середины щели $O$ на величину: $kxsinvartheta.$ Как результат, поле световой волны ($E$) на бесконечности, которое создается всей щелью, выразим как:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Интеграл (1) записан с точностью до множителей, которые не влияют на относительное распределение поля волны по направлениям. Из выражения (1) следует, что распределение интенсивности света в зависимости от направления имеет вид:

где $I_0$ — интенсивность в направлении падающей волны.

Функции $frac и right)>^2$имеют максимум равный единице при $alpha=0$. При $alpha =mpi, где m=pm 1,pm 2,dots , frac=right)>^2=0, $то есть имеется минимум интенсивности. Условие минимума можно записать как:

Выражение (3) значит, что разность хода волн крайних точек щели содержит цело число волн.

Между двумя соседними минимумами расположены максимумы разных порядков, чьи положения определены уравнением:

Можно считать, что максимумы лежат посередине между соседними минимумами.

Если свет падает на щель по углом ($vartheta_0$), отличном от $<90>^0$, то условие дифракционного минимума перейдет в выражение:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

В случае малых углов условие минимума можно записать как:

Основная доля света сосредотачивается в центральной полосе дифракции, то есть между минимумами первого и минус первого порядков.

Световые лучи, которые прошли через диафрагму, отклоняются от своего первоначального направления на угол:

где $D$ — поперечное сечение пучка (в таком направлении, где оно минимально). Данное изменение ширины пучка вызвано волновой природой света и не может быть ликвидировано при заданной ширине пучка. Следовательно, параллельные пучки света — идеализация.

В том случае, если ширина щели становится меньше (или порядка) длины волны, приближенный метод, использованный выше, становится неприменимым, задачу по поиску распределения поля следует решать, применяя уравнения Максвелла и соответствующие граничные условия.

Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии

Пусть свет падает перпендикулярно к плоскости экрана с отверстиями. Плоскость координат ($XY$) совместим с плоскостью экрана. Пусть $dF$ — элемент площади в плоскости экрана, его радиус вектор $overrightarrow(x,y)$. При этом направление световой волны после дифракции определим через единичный вектор $overrightarrow$. Разность хода между лучами, которые распространяются в направлении $overrightarrow$ из элемента $dF$ и начала координат ($O$) — это длина отрезка $OA$, которая равна ($overrightarrowoverrightarrow$) рис.2. Разность фаз при этом равна$ kleft(overrightarrowoverrightarrowright).$ При этом поле для картины дифракции Фраунгофера представим как:

Если рассматривать прямоугольное отверстие, то применяют прямоугольную систему координат, выбирая оси координат параллельными сторонам отверстия.

Используя выражение (7) для прямоугольного отверстия со сторонами $a,b$, имеем:

Интенсивность определена в соответствии с формулой:

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Так как все оправы линз и объективов имеют в большинстве случаев круглую форму, то дифракция на круглом отверстии имеет большой практический интерес. В таком случае при вычислении интеграла (7) переходят к полярным координатам. Если углы дифракции малы, то интеграл выражается с помощью функции Бесселя первого порядка ($J_1(alpha )$), где $alpha =kRvartheta =frac<2pi Rvartheta >$, где $R$ -радиус отверстия, $vartheta$ — угол дифракции.

Читать еще:  Как сделать крутую прическу для мальчиков

В центре картины дифракции находится круглый максимум, окруженный темными и светлыми кольцами дифракции. Максимумы интенсивности в светлых кольцах убывают. Радиус первого темного кольца находят из условия:

Угловой размер ($_0$) светлого круглого пятна, которое наблюдается из центра:

В пределах центрального светлого пятна сосредоточено $84%$ всей энергии, которая проходит через отверстие.

Задание: Какое число длин волн размещается на ширине щели, если на нее нормально падает монохроматический свет? Направление распространения световой волны на четвертую темную полосу дифракции равно $2<>^circ <12>‘.$ Считайте щель узкой.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем условие минимумов для дифракции света, падающего перпендикулярно на узкую щель:

[bsinvartheta =mlambda left(1.1right).]

Число длин волн размещается на ширине щели ($frac$) из выражения (1.1) равно:

Из условия задачи имеем $m=4$, $vartheta$=$2^circ <12>‘=2,2^circ $.

Ответ: $frac=104$.

Задание: На экран с круглым отверстием ($R=1,2$ мм) перпендикулярно падает параллельный пучок света с длиной волны равной $0,6$ мкм. Каково максимальное расстояние от отверстия до точки, расположенной на оси отверстия, где может наблюдаться самое темное пятно.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем формулу для минимумов при дифракции на круглом отверстии:

По условию задачи $m=2$ самый темный минимум. Переведем данные в систему СИ:

$R=1,2 мм=1,2cdot <10>^<-3>м$, $lambda =0,6 мкм=0,6 cdot <10>^<-6>м.$ Проведем вычисления:

Ответ: $b=1,2 м$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

5.4. Дифракция Фраунгофера на отверстиях

Рассмотрим теперь дифракцию Фраунгофера при падении плоской волны на отверстие в экране. В отличие от длинной щели здесь волны дифрагируют во всех направлениях. Каждой точке наблюдения Р соответствует определенное направление дифрагировавших волн, характеризуемое единичным вектором (рис. 1).

В качестве вспомогательной поверхности E выберем плоскость экрана XY. Разность хода идущих по направлению вторичных волн из элемента DS этой поверхности и из начала координат O равна проекции вектора , определяющего положение DS в плоскости XY на направление , т. е. (×). В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля напряженность поля в точке Р пропорциональна интегралу по всей площади отверстия в экране:

, (1)

Где — волновой вектор света, дифрагировавшего в направлении . Опущенный в (1) коэффициент наклона K(a) можно считать постоянным, когда размеры отверстия много больше длины волны, и заметную интенсивность имеют лишь волны, дифрагировавшие на малые углы A. Напряженность В плоскости XY, считается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия экрана и равной нулю за его пределами. Понимая функцию E(X, Y) именно так, можно распространить интегрирование в (1) на всю плоскость XY:

. (2)

Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т. е. в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного множителя) двухмерное преобразование Фурье функции E(X, Y), описывающей поле в плоскости XY. Функция E(Kx, Ky), т. е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля E(X, Y) в плоскости XY, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении Kx, Ky. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях, позволяет наблюдать отдельные фурье-компоненты функции E(X, Y). Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции E(X, Y) в двухмерный интеграл Фурье.

При нормальном падении плоской волны на прямоугольное отверстие со сторонами A и B, параллельными осям X и Y из (2) находим:

, (3)

Где U1 = Kxa/2, U2 = Kyb/2, E0 – амплитуда поя волны в плоскости экрана с отверстиями. Распределение интенсивности в дифракционной картине определяется формулой

(4)

Когда длина одной из сторон много больше длины другой, мы приходим к выражению для дифракции на длинной щели. В дифракционной картине от прямоугольного отверстия (рис. 2)

Читать еще:  До какого возраста пеленать ребенка на ночь

Распределение интенсивности в соответствии с (3) дается произведением распределений от взаимно перпендикулярных щелей. Интенсивность равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника. Заметную интенсивность имеют лишь средние цепочки максимумов, образующие «крест» на рис. 2а. Относительная высота максимумов интенсивности, расположенных вдоль этих линий, характеризуется соотношением

1 : 0,047 : 0,017 : … » 1 : [2/3p]2 : [2/5p]2 : … (5)

Величина остальных максимумов столь мала (0,2% для ближайших к центру), что они трудно наблюдаемы. Большая часть светового потока приходится на центральный максимум, и именно его можно рассматривать как изображение находящегося в фокусе коллиматора точечного источника, получающееся в фокальной плоскости объектива при ограничении сечения, формирующего изображение пучка света прямоугольной диафрагмой. Это изображение шире в направлении более короткой стороны прямоугольника.

Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия представляет большой практический интерес, так как в оптических приборах оправы линз и объективов, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму. При вычислении интеграла (2) целесообразно перейти к полярным координатам r и j в плоскости отверстия: X = rCosJ, Y = rSinJ. Направление дифрагировавшей волны, соответствующее точке Р, удобно характеризовать углом q с осью Z и азимутальным углом y: Kx = KSinq CosY, Ky = KSiny sinq. Тогда Kxx + Kyy = KR sinq cos(j – y) и интеграл (2) принимает вид

, (6)

RDRDJ — элемент площадки, A – радиус вектор отверстия. Используя интегральное представление для бессолевых функций нулевого порядка

, (7)

Выразим Ep через интеграл от J0(KRsinq) который вычисляется с помощью соотношения

, (8)

Где J1(Z) – функция Бесселя первого порядка.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид концентрических светлых и темных колец (рис. 2б) со следующим радиальным распределением интенсивности:

, (9)

Где q — угол дифракции. График этой функции приведен на рис. 3. Она имеет главный максимум при U = 0 и с ростом U осциллирует с быстрым уменьшением амплитуды, подобно функции (sinj/U), описывающей дифракцию на щели. Угловые радиусы qM темных колец равны 0,61l/A, 1,12l/A, 1,62l/A. Расстояние между соседними кольцами с увеличением их номера приближается к p/2A. Эффективный размер дифракционной картины и здесь обратно пропорционален размеру отверстия. Интенсивность максимумов быстро уменьшается: уже в ближайшем максимуме она составляет менее 2% от интенсивности центрального максимума, на который приходится 84% проходящего через отверстие светового потока. Поэтому центральный максимум (диск Эйри), имеющий угловой радиус

, (10)

Можно рассматривать как изображение точечного источника, уширенное дифракцией на круговой диафрагме радиусом A. Соотношение (10) играет важную роль в вопросе о разрешающей силе оптических инструментов.

Важно отметить, что распределение интенсивности в фраунгоферовой дифракционной картине не изменится, если отверстие сместить в плоскости экрана в сторону, не изменяя его ориентации. Картина в фокальной плоскости объектива всегда симметрична по отношений к его оси независимо от положения отверстий. Особый интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий. При правильном, регулярном, расположении отверстий, когда их ориентация и расстояния между ними одинаковы, разность фаз между волнами, дифрагировавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение. Интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину. В направлениях, для которых разность фаз кратна 2p, амплитуда дифрагировавших волн в N раз больше, а интенсивность в N раз больше, чем от одного отверстия. Такое резкое увеличение интенсивности для некоторых направлений имеет большое практическое значение. Случай регулярного расположения отверстий подробно рассмотрен на примере дифракционной решетки.

При хаотическом, беспорядочном расположении отверстий фазовые соотношения между волнами от отдельных отверстий имеют случайный характер. Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагировавших от всех отверстий. Распределение интенсивности в дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения. От большого числа N отверстий получается такая же картина, усиленная по интенсивности в N раз.

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/volnovaja-optika/fure-obraz-difraktsionnogo-obekta/
http://spravochnick.ru/fizika/optika/difrakciya_fraungofera_na_scheli_na_pryamougolnom_i_kruglom_otverstiyah/
http://www.webpoliteh.ru/5-4-difrakciya-fraungofera-na-otverstiyax/

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:

Adblock
detector