0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Задачи приводящие к понятию определенного интеграла

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Работу подготовила Коваленко Ирина Анатольевна, учитель математики школы №3 города Стародуба Брянской области

Задача 1 ( о вычислении площади криволинейной трапеции) 26.11.2016 2 а b Фигура, ограниченная осью ОХ , прямыми х =а и х= b (а  b ) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [ a;b ] функции у = f(x) ,называется криволинейной трапецией у = f(x) х у x 0 х 1 х 2 х к х к=1 х n -1 х n S пр = f( x k )  x k  x k = x k+1 – x k длина отрезка [ x k ;x k+1 ] Площадь прямоугольника приближенно равна площади к – го столбика

26.11.2016 3 а b у = f(x) х у x 0 х 1 х 2 х к х к=1 х n -1 х n Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников S n = f(x 0 )  x 0 +f(x 1 )  x 1 +f(x 2 )  x 2 + …+ + f( x k )  x k + … + f(x n-1 )  x n-1 Итак, S  S n Это равенство тем точнее, чем больше n . Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности ( S n ) S = lim S n n

26.11.2016 4 Математическое описание модели, построенной для функции у = f(x) , определенной на отрезке [ a;b ] : 1) разбивают отрезок на n равных частей; 2) составляют сумму S n = f(x 0 )  x 0 +f(x 1 )  x 1 +f(x 2 )  x 2 + …+ + f( x k )  x k + … + f(x n-1 )  x n-1 3) вычисляют lim S n n lim S n называют определенным интегралом от функции у = f(x) n  п о отрезку [ a;b ] . Обозначают :

26.11.2016 5 Исаак Ньютон (1643 – 1727) – английский физик Готфрид Лейбниц(1646 – 1716) –немецкий философ, математик и физик = F(x) | b a = F(b) – F (a)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок- лекция. Изучение нового материала.Оборудование: учебник ОБЖ, учебная доска, закон РФ «О гражданской обороне».Методы проведения урока: рассказ, лекция, объяснение, фронтальный устный .

Интегрированный урок — математика в физике содержит исторические сведения о происхождении терминов и понятий, об ученых, знакомит с историей развития интегрального исчисления, физические задачи, приво.

В презентации представлены элементы урока, включающие устный счет и практическую часть.

Презентация «Задачи, приводящие к понятию производной».

Презентация «Задачи, приводящие к понятию производной».

«Применение определенного интеграла при решении экономических задач».

Технологческая карта повторительно- ообщающего урока — семинара «Применение определенного интеграла в решении задач математики и физики&raquo.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла,

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции .

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура , ограниченная кривой у= f ( x ), осью Ох и прямыми х=а и х= b . Отрезок [ а, b ] принято называть основанием криволинейной трапеции.

Поставим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции при условии, что f ( x )0. Для решения этой задачи разобьем отрезок [ а , b ] на n частей точками а = х х 1х 2  .  х n = n . (1)

С геометрической точки зрения сумма (2) представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки [ х к -1 , х к ], а длины высот

равны значениям функции f ( к ). Определим теперь площадь криволинейной трапеции как предел суммы при стремлении к нулю, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка (1) на части, ни от выбора точек ( к ) на каждом частичном отрезке.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции

Следовательно, задача об отыскании площади криволинейной трапеции сводится к отысканию предела (3).

2. Задача о вычислении работы переменной силы .

Пусть материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью Ох . Если это движение совершается под действием постоянной силы F направленной вдоль той же прямой, то работа, совершаемая силой F по перемещению материальной точки на расстояние s , вычисляется по формуле W = Fs . Пусть теперь движение материальной точки совершается под действием переменной силы

Читать еще:  Какими мерами была ограничена свобода спартанцев

F = f ( x ) направленной вдоль той же прямой, где f ( x ) есть непрерывная функция х – абсциссы движущейся точки. Рассмотрим работу силы F при передвижении точки от а до b .

В силу непрерывности функции f ( x ) произведение f ( к )  х к близко к истинной работе на отрезке [ х к -1 , х к ], если  х к достаточно мало. Поэтому работа силы F = f ( x ) при передвижении точки от а до b может быть определена равенством W = f ( к )  х к

Таким образом, задача о вычислении работы переменной силы F = f ( x ) также сводится к отысканию предела (3). Рассмотренные две задачи приводят к необходимости изучения конструкции, в которой требуется находить предел суммы произведений значений функции на длины некоторых отрезков при условии, что максимальные длины отрезков стремятся к нулю.

Интегрируемость функции и определенный интеграл .

Пусть функция f ( x ) задана на отрезке [ а , b ], аb . Разобьем отрезок [ а , b ] на n частичных отрезов точками а = х х 1х 2  .  х n = b (4)

называется интегральной суммой функции f ( x ) , соответствующей данному разбиению отрезка (1) и данному выбору точек  к на частичных отрезках. Обозначим и назовем мелкостью разбиения отрезка [ а , b ] .

Определение 3. Функция f ( x ) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ а , b ], если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при  0 . Этот предел J называют определенным интегралом от функции f ( x ) по отрезку [ а , b ] и обозначают J = dx (7)

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, можем сказать, что с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции f ( x ) представляет собой площадь криволинейно трапеции, основанием которой является отрезок [ а , b ].

Аналогично, задача о работе переменной силы F = f ( x ) позволяет утверждать, что с точки зрения механики определенный интеграл (7) представляет собой работу, совершенную переменной силой f ( x ) по перемещению материальной точки от а до b .

Простым примером интегрируемой на любом конечном отрезке [ а , b ] функции является функция f ( x ) = c = const . Действительно, при любом разбиении отрезка [ а , b ] на части интегральная сумма для этой функции

Легко показать, что неограниченная на отрезке [ а , b ] функция f ( x ) не интегрируема по Риману на этом отрезке. В самом деле, если функция f ( x ) не ограничена на [ а , b ], то она не ограничена на некотором k -ом отрезке [ х к -1 , х к ] данного разбиения (4). Поэтому слагаемое в интегральной сумме f ( к )  х к , соответствующей разбиению (4), может быть сделано как угодно большим по модулю за счет выбора точки к . Отсюда вытекает, что интегральные суммы (5), соответствующие разбиению (4), не ограничены и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм.

Но не всякая ограниченная функция интегрируема по Риману. Соответствующим примером может служить известная функция Дирихле.

Поэтому для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, и, следовательно, она не интегрируема по Риману.

Определенный интеграл

§ 38. Определенный интеграл

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура (рис. 153), ограниченная осью х, прямыми х=а,х=Ь (а (f) >0. Найти перемещение точки за промежуток времени [а, Ь].

Решение. Ее ли бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач.

1) Разделим промежуток времени [а, Ь] на п равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени. Итак, мы считаем, что v = v (t4).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки зк за промежуток времени


4) Найдем приближенное значение перемещения з:


5) Точное значение перемещения вычисляется по формуле
Подведем итоги. Три различные задачи привели при их решении к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить, т.е.:

Читать еще:  Как правильно попросить у начальника повышение зарплаты

а) присвоить ей новый термин,
б) ввести для нее обозначение,
в) научиться с ней работать.

Этим и займемся.

2. Понятие определенного интеграла

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции у = f(х), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а, Ь]:

1) разбивают отрезок [а, Ь] на n равных частей;
2) составляют сумму:


3) вычисляют
В курсе математического анализа доказано, что при указанных условиях этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у =f(x) по отрезку [а, Ь] и обозначают так:


(читают: «интеграл от а до Ь эф от икс дз икс»). Числа а и Ь называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Замечание. Приведем правдоподобную версию происхождения указанного обозначения и термина: — стилизованная буква напоминание о слагаемых вида из которых состоит сумма 5д. Само слово интеграл происходит от латинского слова integer — «целый». Употребление этого термина вполне оправданно: вспомните, какой смысл вкладывается в русском языке в слово интеграция — восстановление, восполнение, воссоединение; подробнее — это процесс, ведущий к состоянию связанности отдельных частей в целое. В построенной математической модели речь фактически идет о воссоединении целого по отдельным частям (например, о нахождении всей площади — по площадям столбиков, как было в задаче 1).
Вернемся к трем рассмотренным выше задачам. Результат, полученный в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:


здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 153. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью р(х) вычисляется по формуле


В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Из решения задачи 3 следует, что перемещение з точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t =а до 1 = Ъ, вычисляется по формуле


Это — еще одно физическое истолкование определенного интеграла.

3. Формула Ньютона—Лейбница

После внимательного изучения предыдущего параграфа у вас, наверное, возник вопрос: почему в названии построенной математической модели содержится слово «интеграл», ведь в § 37 это слово ассоциировалось у нас с термином «первообразная». Есть ли какая-либо связь между определенным интегралом и первообразной?
Ключ к разгадке дает задача 3. С одной стороны, перемещение 8 точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t), за промежуток времени от t=a до t =Ь вычисляется по формуле


С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s (t); значит, перемещение S выражается формулой S = s(b) -S(а). В итоге получаем:


где S (t) — первообразная для v(t).
Вернемся к задаче 1 — о вычислении площади криволинейной трапеции (см. рис. 153). Мы установили, что


Сейчас мы покажем другое решение этой задачи, которое приведет нас к формуле


где F (х) — первообразная для f(х). Будем считать для упрощения, что у = f(х) — возрастающая функция на отрезке [а, Ь).
Выберем между а и Ь на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию аАМх (рис. 157), обозначим ее площадь через 5 (х). Каждому х из отрезка [а, Ь] соответствует вполне определенное значение S(х), т.е. можно говорить о функции u = S(х). Эта функция определена на отрезке [а, Ь], она неотрицательна и возрастает (чем больше х, тем большую площадь имеет криволинейная трапеция аАМх).

Особо отметим значения функции на концах отрезка [а, b]:

если х=а, то трапеция аАМх «вырождается» в отрезок аА, его площадь равна нулю, т.е. S(а) =0;


если а = Ь, то трапеция аАМх совпадает с трапецией аAВЬ, площадь 5 которой нам как раз и надо вычислить, т.е. S(Ь) =5.
Вся подготовительная работа закончена, приступим к решению задачи о вычислении площади криволинейной трапеции аАВЬ. Осуществим это решение в два этапа.

Первыйэтап. Найдем производную функции u =S(х), применив выработанный в § 32 алгоритм.
1) Для фиксированного значения х имеем:
2) Дадим аргументу приращение (пусть для определенности выполняется неравенство ). Для значения имеем (рис. 158)

Читать еще:  Как разместить свой магазин на Яндекс Карте

площадь узенького столбика хМРр на рис. 158.

4) Функция у=f(х) возрастает на отрезке значит, f(х) — наименьшее значение функции на указанном отрезке, а — наибольшее значение функции на указанном отрезке. Но тогда

Анализируя неравенство (2), логично предположить, что тогда в курсе математического анализа доказано, что это верно. Но, как известно,

иными словами, S (х) — первообразная для f(х).
Второй зтап. Имеем: S(Ь) = S; S (а) = 0, значит, S = S(b)-S(а).
Приступая к решению задачи, мы для функции f(х) выбрали первообразную F(х). Значит, теперь у нас есть две первообразные для f(х): F(х) и S (х). Они, как известно, отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е.
S(х)=F(х)+С.
Далее имеем:


Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:


Вообще, в курсе математического анализа доказана следующая теорема.

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона—Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

Замечание. То, что математическую формулу вывели философ и физик, никого не удивляет, ведь математика — язык, на котором говорит сама природа.

На практике вместо записи F(Ь)-F(а) используют запись (ее называют иногда двойной подстановкой) и соответственно переписывают формулу Ньютона—Лейбница в виде:


Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
Пример 1. Вычислить
Решение. Первообразной для х 3 служит

Пример 2. Вычислить
Решение. Здесь для отыскания первообразной удобнее воспользоваться знаком неопределенного интеграла, при этом полезно числитель дроби, содержащейся под знаком интеграла, разделить почленно на ее знаменатель:

Теперь вычислим определенный интеграл:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и осью абсцисс.


Решение. Можно взять полуволну синусоиды от точки х = 0 до точки х = к (рис. 159) и воспользоваться формулой (1) при следующих условиях: а = О, Ь = п, f(x) = sin х. Получим:


(в процессе вычислений мы учли, что первообразной для sin x является -соs x:).
Ответ: S=2.
Опираясь на формулу Ньютона—Лейбница, нетрудно обосновать некоторые свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:


Доказательство. Если F(х) — первообразная для f(х), а G(x) — первообразная для g(х), то f(х)+G(x) — первообразная для f(х)+g(х). Тогда:


Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Свойство 3. Если а 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 161 б). Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций у = f(х)+m, у = g(х)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, Ь]. Имеем:


Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь и графиками функций у = f(х)>v = S(х)> непрерывных на отрезке [а, Ь] и таких, что g(х) 2 -4-2 +2 = -2. Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью параболы — прямая x = 2. Возьмем две пары точек,

симметричных относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1), (0; 2) и (4; 2) и построим параболу по пяти точкам (рис. 163). Парабола и прямая пересекаются в двух точках A и B, для отыскания абсцисс этих точек надо решить уравнение х 2 -4х + 2 = х-2. Находим последовательно:

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями у = х 2 -4x + 2 (снизу) и у = x —2 (сверху). Можно считать, что с боков эта фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 4. Значит, для вычисления площади фигуры можно применить формулу (3).


Ответ: S = 4,5.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

Источники:

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2016/11/27/zadachi-privodyashchie-k-ponyatiyu-opredelennogo-integrala
http://infourok.ru/zadachi-privodyaschie-k-ponyatiyu-opredelennogo-integrala-2396851.html
http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector